El método Socrático o mayéutica nos permite, a través del diálogo, que nuestros interlocutores se aparten de ideas erradas y descubran el conocimiento verdadero. La presente ejemplificación corresponde a una clase que puede trabajarse con los estudiantes de primer (1er) año de educación media.
Para adquirir conceptos, formalismos, algoritmos y lenguaje matemático, partimos primero de una situación real con la que los estudiantes puedan sentirse identificados. De tal forma, se les platea lo siguiente: Ana y Beatriz se encuentran trotando alrededor de una cancha. Ana da una vuelta cada 4 min y Beatriz cada 6 min. Si ambas partieron de un mismo punto ¿En qué minutos vuelven a encontrarse en el punto de partida por primera, segunda y tercera vez?.
Esta pregunta hará que los estudiantes hagan uso de su capacidad heurística; es decir, deberán analizar la situación, identificar los datos que poseen y ejecutar un plan para encontrar la solución. De esta forma descubrirán lo siguiente:
Ana vuelve al punto de partida en los minutos: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36…
Beatriz vuelve al punto de partida en los minutos: 6; 12; 18; 24; 30; 36…
Se encuentra en el punto de partida por primera vez en el minuto 12.
Por segunda vez en el minuto 24.
Por tercera vez en el minuto 36.
Una vez los estudiantes descubren la solución (por medio del ensayo y el error) el docente escribe esta información en la pizarra utilizando apropiadamente el lenguaje matemático:
A= 4N* = 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36……
B = 6N* = 6; 12; 18; 24; 30; 36……
Donde A = Conjunto de los minutos en que Ana vuelve al punto de partida. B = Conjunto de los minutos en que Beatriz vuelve al punto de partida.
El docente continua con el dialogo ¿Qué relación tienen entre sí los minutos en que Ana vuelve al punto de partida y cómo se calculan? A lo que los estudiantes deben responder: Van de 4 en 4; es decir, que son los múltiplos de 4; se calculan multiplicando 4 por los números naturales sin incluir el cero. El docente explica que esto se escribe 4N*. Se realiza la misma pregunta para el caso de Beatriz.
Luego se les encomienda que separen los datos en dos conjuntos: múltiplos comunes y no comunes.
Múltiplos comunes = 12; 24; 36….
Múltiplos no comunes = 4; 6; 8; 16; 18; 20; 28….
¿Qué relación tienen entre sí los múltiplos comunes?
Son los minutos en que se encontraron Ana y Beatriz en el punto de partida, van de 12 en 12; es decir, son múltiplos de 12.
¿Qué representa el número 12?
Fue el primer minuto en que se encontraron en el punto de partida Ana y Beatriz. Es el primer múltiplo común.
El docente explica que este número recibirá el nombre de mínimo común múltiplo (m.c.m.) y se escribirá: m.c.m. (4 y 6) = 12 siendo 4 y 6 los minutos que Ana y Beatriz tardaban en dar una vuelta.
¿En qué minuto se encontraron por novena vez?
De acuerdo a los razonamientos anteriores, observarán que deben multiplicar el m.c.m. por 9. 12 x 9 = 108. Se encontrarán por novena vez en el minuto 108.
¿Cómo podemos entonces definir el m.c.m.?
Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números.
En este orden de ideas, se procede a explicar el Algoritmo que simplifica el cálculo del mínimo común múltiplo.
Problema
¿Cuál es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de los números naturales 30 y 50?
Este planteamiento de matemática nos hace reflexionar a través de ciertas preguntas irónicas, para empezar la búsqueda de las respuestas o soluciones del problema en cuestión.
Se puede observar que los números 30 y 50 son números naturales, ¿diga porque?
Los números naturales son aquellos que podemos cuantificar y parten desde el número cero al infinito, es decir:
N: 0, 1, 2, 3, 4,…. 30,… 50,…
Viendo este conjunto nos damos cuenta que los números naturales forman una serie de elementos numéricos y a su vez se pueden denotar con la letra “N”, para su uso en los procesos de enseñanza- aprendizaje, del área de matemática.
¿Por qué la multiplicación es una operación matemática que se aplica al conjunto de los números naturales?
Si, así es, las operaciones matemáticas se estudian con los números naturales, porque son aplicadas a las propiedades de la multiplicación o producto de este conjunto “N” las cuales son: la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva. Estas a su vez se combinan con otros conjuntos de números. Por ejemplo:
A x B = B x A (conmutativa).
¿Por qué la potenciación tiene relación con el producto del conjunto de los números?
Si, por supuesto, se puede decir que la potenciación es el resultado de un producto aplicado con los números naturales y se estructura de la siguiente manera:
be, donde el elemento (e) es el exponente y nos indica el número de veces que se repite la base (b) y esta a su vez nos dice el número que se va a multiplicar por sí mismo de acuerdo a lo que indique el exponente.
¿Por qué los números primos (p) forman parte del conjunto de los números naturales?
Porque los números primos “p”, representan un subconjunto de los números naturales “N”. Los cuales los representamos a continuación:
P: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…
Se dice que para que un número sea un número primo, tiene que cumplir las siguientes condiciones:
1. Que el número sea mayor o igual que dos: (“p” mayor o igual que 2)
2. Que sea divisible entre uno (1) y su mismo número, solamente.
Continuando con el desarrollo del problema plateado anteriormente, nos formulamos otras preguntas, para seguir indagando en el objeto de estudio.
¿Cuáles son los divisores de 30 y 50?
Los divisores de 30 son: 2, 3, 5 y hacemos la siguiente relación:
30 = 2 x 3 x 5
Los divisores de 50 son: 2, 5 y hacemos la siguiente relación:
50 = 2 x 52
De las relaciones expuestas en la anterior pregunta ¿Cuál es su interrelación de sus elementos que los conforman?
En los factores primos que conforman las relaciones del 30 y el 50 tenemos:
Los factores primos que son comunes: 2, 5, porque están presentes en ambos (30, 50).
Los factores primos que no son comunes: 3, el cual solo está presente en el en la relación del número 30.
Finalmente llegamos a formular una pregunta acerca de la definición del objeto de estudio.
¿Qué es el mínimo común múltiplo (m.c.m.)?
Definimos como mínimo común múltiplo al producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Solución al problema planteado: El m.c.m. de los números naturales (30 y 50) es la selección de los elementos que conforman los productos:
El m.c.m. = 2 x 3 x 52
Y luego m.c.m. = 150
YONIFER QUIÑONEZ V.
GIOVANNY A. CASTRO
REINALDO MENDEZ D.
NEIRO J. RAMIREZ S.
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